恶作剧之吻

AI推翻87年数学难题？困扰数学界的雅可比猜想，可能被三行公式证伪了_我的网站

A |     悬而未决 87 年的经典数学难题——雅可比猜想（Jacobian Conjecture），可能被一个只有三行公式的反例推翻了。    过去一天，广西东北部、广东北部和西南部、贵州东南部、湖南南部、江西南部、福建南部等地出现大到暴雨，广东清远、韶关、惠州、河源、梅州和江西赣州等地大暴雨（100～168毫米）；其中，广西、广东最大小时降雨量30～70毫米，伴有8～10级、局地11级阵风。         7 月 20 日，数学家、Anthropic 研究人员 Levent Alpöge 在社交平台 X 公布了一个三元多项式映射。　　预计今天（4月26日）强降雨中心主要集中在广东东南部、台湾岛西部等地，福建东南部、广西中北部、广东中东部、台湾岛等地部分地区有大到暴雨，其中广东东南部、台湾岛西部等地部分地区有大暴雨（100～180毫米）。

B | 上述部分地区伴有短时强降水（最大小时降雨量30～50毫米，局地可超过70毫米），局地有雷暴大风或冰雹等强对流天气。它满足了雅可比猜想要求的前提条件，却违背了猜想的结论，因此构成了一个可能推翻整个猜想的反例。中央气象台今晨发布暴雨蓝色预警。

C | 　　气象专家提醒，近期广东出现持续性强降雨，且强降雨落区高度重叠，易诱发山洪、地质灾害及中小河流洪水等次生灾害，公众需提高警惕，避免前往灾害易发区。         更引人关注的是，Alpöge 在帖子中将这一反例归功于 Anthropic 最新发布的 AI 模型 Claude Fable 5。　　除了华南等地强降雨外，今天多地将有强对流天气，华北中部、甘肃南部、川西高原北部、四川盆地东南部、重庆西部、贵州西北部和南部等地有短时强降水、雷暴大风或冰雹天气，公众外出请提前关注当地气象部门发布的强对流天气预警信息，避免高影响时段外出。他还表示，是朋友 Akhil 首先向模型提出这一问题，而 Fable 5 则在他们观看世界杯决赛期间持续搜索，最终找到了这一反例构造。　　另外，明天起至30日，江南、华南及贵州等地仍有较强降雨，部分地区有暴雨，局地有大暴雨，并伴有强对流天气。

D | 其中27日，江西南部、福建南部、广东中东部等地部分地区有暴雨或大暴雨；28日，湖南西南部、江西南部、福建西部、广东中北部等地部分地区有暴雨。

E | 　　国内未来三天具体预报　　4月26日08时至27日08时，福建东南部、广西中北部、广东中东部、台湾岛等地部分地区有大到暴雨，其中，广东东南部、台湾岛西部等地部分地区有大暴雨（100～180毫米）。

F | 内蒙古、黑龙江东部、新疆北部和南疆盆地、甘肃河西等地部分地区有4～6级风。渤海、台湾海峡、台湾以东洋面、南海北部、北部湾海域将有6~7级风，阵风8级。　　4月27日08时至28日08时，内蒙古中部、江南大部、华南中东部、台湾岛等地部分地区有中到大雨，其中，江西南部、福建南部、广东中东部等地部分地区有暴雨或大暴雨（100～180毫米）。         （来源：X）          消息发布后，数学界迅速展开核验。内蒙古、辽宁中部、新疆北部和南疆盆地、河北中南部等地部分地区有4～6级风。渤海、台湾海峡、南海北部、北部湾海域将有6~7级风，阵风8级。　　4月28日08时至29日08时，新疆西南部、华北北部、江淮、江南中东部和南部、西南地区东部、华南中东部等地部分地区有中到大雨，其中，湖南西南部、江西南部、福建西部、广东中北部等地部分地区有暴雨（50～80毫米）。内蒙古、辽宁中部、新疆南部、河北中部等地部分地区有4～6级风。渤海、台湾海峡、南海北部、北部湾海域将有6~7级风，阵风8级。

G | 斯坦福大学数学系助理教授 Jared Duker Lichtman 转发称这一结果“相当惊人”；MathOverflow 很快收录了相关讨论，不少研究者还利用 Wolfram Alpha、SymPy 等工具进行了独立计算。目前，最关键的两项验证：雅可比行列式是否恒为 −2，以及三个不同点是否确实映射到同一点，均已通过公开计算验证。         如果后续没有发现新的漏洞，这将意味着：1939 年提出的雅可比猜想在三维情形下不成立，并可进一步推出其在所有三维及以上维数下均不成立；而二维情形仍然保持开放。

H | （中国小康网综合中央气象台）。

I |          被称为“民科坟场”的雅可比猜想          雅可比猜想由德国数学家奥特－海因里希·凯勒（Ott-Heinrich Keller）于 1939 年提出，讨论的是一个看似简单、却困扰数学界近九十年的问题：什么时候，一个多项式映射一定能够"倒推"回原来的函数？          图｜海因里希·凯勒（左）（来源：Wikipedia）          理解这个猜想，可以先想象一张橡胶膜。如果局部看，每一小块都没有被撕裂或压扁，人们很自然会问：整张膜会不会在别的地方折叠起来，让两个不同的位置重合？          数学里的情况与此类似。对于多变量多项式映射，如果它在每一个局部都满足一种“没有折叠”的条件，也就是雅可比行列式始终等于同一个非零常数。那么它是否一定在整体上也是一一对应的？它的逆映射又是否仍然是一个多项式？          这就是雅可比猜想。

J | 它的陈述只有短短几句话，却异常难以证明。

K | 不少数学研究者戏称它为“crank graveyard”——“民科坟场”。许多人被它吸引，最终却陷入漫长而徒劳的推导之中。         著名华人数学家张益唐，就曾把整个博士阶段投入到这个问题。1991 年，他在普渡大学完成博士论文《雅可比猜想与域扩张的次数》，导师莫宗坚是国际上研究雅可比猜想最重要的学者之一。张益唐的工作推进了这一研究方向，却并没有解决猜想本身。后来，他离开代数几何，转向解析数论，并最终因证明有界素数间隔而闻名世界；雅可比猜想，则依然留在开放问题名单中。         1998 年，菲尔兹奖得主 Stephen Smale 将其列入著名的《下一个世纪的数学问题》（Mathematical Problems for the Next Century）第 16 题，认为它的解决将对数学发展产生重要影响。         过去近 90 年里，一维情形早已证明成立，二维至今仍未解决，而三维及更高维也始终没有答案。由于这一猜想要求所有维数都成立，因此，只要在任意一个维数找到反例，整个猜想就会被推翻。         三个点，击穿一个猜想          而此次，Alpöge 公布的是一个从三维复空间到三维复空间的多项式映射：          直接计算可知，这个映射的雅可比行列式恒等于 −2。由于 −2 是一个非零常数，因此它完全满足雅可比猜想的前提条件。         然而，当把三个不同的点          分别代入这一映射时，得到的结果却都是同一个点：          这足以构成反例。原因很简单：如果多个不同的输入对应同一个输出，那么映射就不是单射。换句话说，当已知输出时，无法唯一确定原来的输入，因此它不可能拥有逆映射，更不可能拥有由多项式组成的逆映射。这与雅可比猜想的结论正面冲突。         这个反例还具有极强的可核查性。许多重大数学成果往往需要专家花费数月甚至数年时间，逐页检查上百页证明；而这个结果的核心，仅涉及两项有限的代数计算：一是验证雅可比行列式恒等于非零常数，二是验证三个不同的点确实映射到了同一个点。         截至目前，这两项计算均已得到公开复核。研究者 Zihan Zhang 给出了独立的 SymPy 验证脚本，并指出，只需将其中一个输出坐标乘以 −1/2，就可以把雅可比行列式规范化为猜想中更常采用的常数 1，而这不会改变反例的本质。         如果这一反例最终成立，它不仅推翻三维情形，也意味着所有更高维情形都不再成立。因为只需在三维反例后增加若干保持不变的坐标，就可以直接构造出任意更高维的反例。不过，二维雅可比猜想仍然是一个独立的开放问题          值得补充的是，Levent Alpöge 并不是从 AI 领域半路进入数学，而是一位长期从事数论与算术几何研究的职业数学家。近年来，他才加入 Anthropic，从事人工智能研究。         他本科毕业于哈佛大学，主修数学，并获得物理学硕士学位；随后在剑桥大学完成数学高级研究课程。

L | 2020 年，他在普林斯顿大学获得数学博士学位，导师是菲尔兹奖得主 Manjul Bhargava。         图｜Levent Alpöge（来源：Quanta Magazine）          大型语言模型兴起后，Alpöge 开始转向人工智能。

M | 他曾在个人主页写道，GPT-4 让他认为人工智能是“人类创造过的最有意思的东西”，因此重新回到计算机科学领域，希望增加这场变化产生积极结果的可能性。         根据目前公开的信息，这次发现的大致过程是：Akhil 提出问题，Alpöge 将其交给 Claude Fable 5 进行探索，模型最终给出了具体的反例构造；随后，Alpöge 公开了这一构造，数学界再通过人工推导以及 Wolfram Alpha、SymPy 等工具进行了独立验证。         这一过程与 AI 替数学家写出一份传统意义上的数学证明有所不同。对于否定一个猜想而言，并不需要解释所有可能情况，只需要找到一个满足前提、却违反结论的反例即可。这样的任务天然适合计算探索：模型可以不断尝试构造候选映射、调整参数、检查雅可比条件，再寻找是否会出现不同点映射到同一点的情况。

N |          如果这一反例最终得到确认，它带来的意义将十分重大。因为它展示了一种此前极少出现的研究模式：不是 AI 帮助数学家验证已经存在的思路，而是AI参与寻找一个人类 87 年来始终没有找到的数学对象。         从 AlphaGeometry 解决竞赛题，到 GPT、Gemini 参与证明具体命题，再到这一次可能找到推翻经典猜想的反例，大模型参与数学研究的角色正在发生变化。它开始探索的，不再只是“答案”，而是过去只有数学家才会进入的未知搜索空间。

o |          参考链接：          1.https://x.com/leventalpoge          2.https://mathoverflow.net/questions/513387/galois-structure-of-the-new-counterexample-to-the-jacobian-conjecture-an-explic          3.https://www.leventalpoge.com/          4.https://dataspace.princeton.edu/          5.https://www.ams.org/prizes-awards/ams-morgan-prize          运营/排版：何晨龙          注：封面由 AI 辅助生成。

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Published on:00:20:38